y = ax³ + bx² + cx + d với a ¹ 0 có đồ thị là (C).

I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị

1)               a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm Þ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)

2)               a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm Þ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)

3)               Hàm số không có cực trị  vô nghiệm.

4)               a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với x₁< x₂

       Þhàm số đạt cực đại tại x₁ và đạt cực tiểu tại x₂.

       Ngoài ra ta còn có:

       +   x₁ + x₂ = 2x₀ với x₀ là hoành độ điểm uốn.

       +   hàm số tăng trên (-¥, x₁) và trên (x₂, +¥)

       +   hàm số giảm trên (x₁, x₂)

a< 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với x₁< x₂

       Þhàm đạt cực tiểu tại x₁ và đạt cực đại tại x₂ thỏa điều kiện

        x₁ + x₂ = 2x₀ (x₀ là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có:          

       +   hàm số giảm trên (-¥, x₁) và  trên (x₂, +¥)

       +   hàm số tăng trên (x₁, x₂)

II/ Cách viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

-                   Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. Thực hiện phép tính

-                   Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q

-                   Gọi là tọa độ điểm cực trị  từ đó suy ra

-                   Kết luận là đường thẳng đi qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để hàm số có cực trị)

III/ Giao điểm của đồ thị với trục hoành :

1)          C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

       Û

2)                      Giả sử a > 0 ta có:

a)     (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt >a

Û

b)          (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt <a

       Û

     Tương tự khi a < 0

3)              (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y (x₀) = 0  Với x₀ là hoành độ điểm uốn

IV/ Biện luận số nghiệm của phương trình : ax³ + bx² + cx + d = 0 (1) (a ¹ 0) khi x = a là 1 nghiệm của (1).

           Nếu x = a là 1 nghiệm của (1), ta có

  ax³ + bx² + cx + d = (x - a)(ax² + b₁x + c₁)m

nghiệm của (1) là x = a với nghiệm của phương trình ax² + b₁x + c₁ = 0 (2).

 Ta có các trường hợp sau:

1)    nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = a

2)    nếu (2) có nghiệm kép x = a thì (1) có duy nhất nghiệm x = a

3)    nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ¹a thì (1) có 3 nghiệm phân biệt

4)    nếu (2) có 1 nghiệm x = a và 1 nghiệm khác a thì (1) có 2 nghiệm.

5)    nếu (2) có nghiệm kép ¹a thì (1) có 2 nghiệm

V/ Tiếp tuyến của đồ thị : Gọi I là điểm uốn. Cho M Î (C).

       Nếu M º I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.

       Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.

       Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn

Ghi chú : Đối với hàm bậc 3 : y = ax³ + bx² + cx + d, ta có:

i)     Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.

ii)    Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

VI/ Phân tích một kỹ thuật dùng hàm số trong làm  bài  xét tính đơn điệu của hàm bậc 3 :

Ví dụ 1 :

Tìm m để hàm số y= mx³–(m-1)x² + 3(m-2)x +  đồng biến trên khoảng [2 ;+∞)

Bài làm :Theo nguyên tắc hàm số đồng biến thì y’≥0. Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [2 ;+∞) thì y’= mx²-2(m-1)x + 3(m-2)≥0 với mọi  x≥2.

Phương pháp ở đây chúng ta dùng chính là việc thử cô lập các biến chứa m sang một vế và các biến không chứa m còn lại sang một vế như sau :

m(x² – 2x + 3)≥ -2x + 6 với mọi x≥2 

Lúc này ta cần phải xét dấu của biểu thức chứa ẩn m.

Với ví dụ này ta nhận thấy với x≥2 thì x² -2x + 3 ≥3 >0 . Do đó chia cả 2 vế cho (x² -2x + 3) ta được g(x)= ≤ m .

Từ trên ta thấy chỉ cần max g(x) trên nửa đoạn [2 ;+∞) ≤m là mọi điểm trên đồ thị g(x) thuộc nửa khoảng [2 ;+∞) đếu thấp hơn m.

Do đó xét g’(x) = , x2 = 3+

Bảng biến thiên :

Nhìn bảng biến thiên suy ra =g(x) =

Đây là phương pháp hàm số đối với dạng bài cô lập được m nói chung cho tất cả các loại hàm số không chỉ riêng cho hàm bậc 3 này,các dùng phương pháp này thì hãy lưu ý đến dấu của biểu thức khi chúng ta chia. Còn với những dạng không cô lập được chúng ta vẫn phải dùng cách giải bất phương trình y’ hoặc y’ như thông thường,.

Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là

  y = -x3 + mx2 - m và   y = kx + k + 1.

  PHầN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A, B . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).

2) Gọi D là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E  D với (C).

3) Tìm E  D để qua E có ba  tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định.

5) Tìm M  (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).

PHầN  I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.

6) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.

7) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.

8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

 9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2).    b) hàm số nghịch biến trong (0, +∞).

10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.

11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để

(Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau

12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1).

13)Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

                                                                                      CLB Gia sư thủ khoa