Đề thi đại số tuyến tính được lấy từ học viện ngân hàng

Câu 1. (1 điểm) Cho V là một không gian véc tơ n chiều và một hệ véc tơ (1) gồmmvéc
tơ của V . Hãy nêu mối quan hệ củamvà n (không cần chứng minh) khi:
a) Hệ (1) độc lập tuyến tính.
b) Hệ (1) là hệ sinh của V .
Câu 2. (1 điểm) Định nghĩa ánh xạ tuyến tính. Cho ví dụ.
Câu 3. (2 điểm) Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để một ma trận có
nghịch đảo.
Câu 4. (1 điểm) TậpW = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R; x + y ≥ 0} có là không gian con
của không gian véc tơ thực R3 hay không?
Câu 5. (1 điểm) Cho V là một không gian véc tơ trên trường K , {α1, α2, α3, α4} là một
hệ véc tơ thuộc V . Ký hiệu β1 = α1, β2 = α2, β3 = α3, β4 = α1 + α2 + α3 + α4.
Chứng minh rằng nếu hệ {α1, α2, α3, α4} phụ thuộc tuyến tính thì hệ {β1, β2, β3, β4}
cũng phụ thuộc tuyến tính.
Câu 6. (1 điểm) Tính định thức sau:
D =
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
a 0 0 1 −2
b c 4 7 5
d 0 1 0 2
0 0 3 1 0
0 0 2 0 1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
,
trong đó a, b, c, d là những số thực.
Câu 7. (3 điểm) Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình sau:
8>>><
>>>:
3x+ (a + 3)y+ 2z− 13t = 21,
x+ y − 3t = 7,
2x+ 2y+ z− 3t = 14,
−x+ (2a − 1)y+ 7z+ (a + 3)t = a − 8.

Link download: https://www.fshare.vn/file/PA246AJL4HUI