Trung tam luyen thi dai hoc Thống Nhất - TPHCM, cấu trúc đề thi đại học môn Toán luôn bao gồm một câu giải đồ thị hàm số, và tìm sự tương giao giữa các đồ thị. Trung tâm luyện thi đại học Thống Nhất - TPHCM gửi đến các em học sinh bài hướng dẫn các bước để hoàn thành phần đồ thị hàm số.

Trung tâm luyện thi Thống Nhất sẽ tiếp tục cập nhật bài viết để các em có thể nắm bắt phần lý thuyết và các bài tập thực hành mẫu. Hi vọng sau bài học này, các em học sinh có thể nắm vững phương pháp giải các bài tập liên quan đến đồ thị hàm số, vốn là phần lấy điểm trong bài thi môn Toán tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học - Cao đẳng.

I. Các bước giải:

1. Tìm tập xác định của các hàm số bậc 3 , bậc 4 và hữu tỷ .

* Hàm số bậc 3 :

y = ax³ + bx² + cx + d ; D = R

* Hàm số bậc 4:

y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e ; D = R

* Hàm số hữu tỉ :

y = u(x) / v(x) ; D = { x @ R | v(x) =/= 0 }

2.  Tìm đạo hàm cấp 1 của các hàm số bậc 3 , bậc 4 và hữu tỷ .

* Hàm số bậc 3 :

y = ax³ + bx² + cx + d

=> y ' = 3ax² + 2bx + c

* Hàm số bậc 4 :

y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

=> y ' = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

* Hàm số hữu tỉ :

y = u(x) / v(x)

=> y ' = ( u ' v - u v ' ) / v²

 3. Tìm nghiệm của phương trình y ' = 0

* Hàm số bậc 3 :

y ' = 3ax² + 2bx + c = 0 ( use discriminant Delta = b² - 4ac )

* Hàm số bậc 4 :

y ' = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d = 0 (dùng máy tính Casio tìm nghiệm nguyên dương hoặc chia tam thức bậc 3)

* Hàm số hữu tỉ :

y ' = ( u ' v - u v ' ) / v² = 0

4. Lập bảng biến thiên của hàm số . Tìm khoảng tăng giảm của hàm số .

5. Tìm đạo hàm cấp 2 của các hàm số bậc 3 , bậc 4 

* Hàm số bậc 3 :

y '' = 6ax + 2b

* Hàm số bậc 4 :

y '' = 12ax² + 6bx + 2c

 6. Tìm nghiệm của phương trình y '' = 0 ( điểm uốn )

* Hàm số bậc 3 :

y '' = 6ax + 2b = 0

* Hàm số bậc 4 :

y '' = 12ax² + 6bx + 2c = 0

 7. Lập bảng xét dấu lồi lõm của hàm số . Tìm khoảng lồi lõm của hàm số .

8. Xác định các tiệm cận đứng , ngang hoặc xiên của hàm số hữu tỷ .

9. Vẽ đồ thị hàm số .

II. Phương pháp đồ thị:

1) Sự tương giao của hai đồ thị:
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) là nghiệm của phương trình:

 f(x)=g(x),   (∗)

 Từ đó suy ra số giao điểm của hai đồ thị đã cho bằng số nghiệm của phương trình (∗).

2) Đường thẳng với hệ số góc:

• Hệ số góc của đường thẳng là tang của góc tạo bởi phần đường thẳng phía trên Ox và chiều dương trục Ox
• Đường thẳng y=ax+b có hệ số góc là a.
• Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục Ox thì có hệ số góc bằng 0.
• Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục Oy thì không có hệ số góc.
• Đường thẳng đi qua M(x0;y0) và có hệ số góc k thì có phương trình y=k(x–x0)+y0.
• Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc.
• Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1.

3) Định lý Bézout và lược đồ Horner:

• Đa thức bậc n là biểu thức có dạng f(x)=anxn+an–1xn–1+...+a1x+a0.
• Số x0 được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x0)=0.

Định lý Bézout:

Nếu x0 là một nghiệm của f(x) thì tồn tại đa thức g(x) sao cho:

f(x)=(x–x0).g(x)

 Lược đồ Horner dùng để chia đa thức f(x) cho đa thức x−α:

Khi đó:

Đặc biệt, khi α là nghiệm của f(x) thì b0=0

4) Tam thức bậc hai:  

a) Định lí Viète:

Nếu f(x) có hai nghiệm x1,x2 thì:

b) Nhận xét:

* f(x) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac<0

* f(x) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

* f(x) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi:

 * f(x) có hai nghiệm phân biệt cùng lớn hơn α khi và chỉ khi:

 * f(x) có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn α khi và chỉ khi:

* f(x) có hai nghiệm phân biệt, x1<α<x2 khi và chỉ khi:

(Trích nguồn: http://www.luyenthithongnhat.org/1008/huong-dan-giai-do-thi-ham-so/)